xsinx的原函数求解
在微积分中，求一个函数的原函数，即寻找其不定积分。对于函数f(x) = x sin x，其原函数F(x)需要满足F'(x) = x sin x。这是一个典型的积分问题，通常需要运用分部积分法来求解。分部积分法的公式来源于两个函数乘积的导数规则，其表达式为∫u dv = uv - ∫v du。关键在于如何恰当地选择u和dv。
分部积分法的应用过程
对于积分∫x sin x dx，我们选择令u = x，dv = sin x dx。这样选择的原因是，对u = x求导后得到du = dx，这个更简单的表达式可以简化后续积分。而对dv = sin x dx积分，得到v = -cos x。将这些代入分部积分公式：∫x sin x dx = x * (-cos x) - ∫(-cos x) dx = -x cos x + ∫cos x dx。接下来，计算剩余的积分∫cos x dx，其结果为sin x。因此，最终的原函数为 -x cos x + sin x + C，其中C为任意常数。
我们可以通过求导来验证结果的正确性：对F(x) = -x cos x + sin x + C求导，F'(x) = -cos x + x sin x + cos x = x sin x，这与被积函数完全一致，验证了求解的正确性。这个原函数在物理学和工程学中常有应用，例如在计算某些周期运动做功或分析振动系统时可能会遇到。