罗尔定理的条件验证
罗尔定理是微分学中的基本定理之一，它指出：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且满足f(a)=f(b)，则在(a, b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。对于函数f(x) = (8x - x^2)^(1/3) 在区间[0, 8]上，我们首先验证这些条件。计算端点值：f(0) = (0)^(1/3) = 0， f(8) = (64-64)^(1/3) = 0，因此f(0)=f(8)=0，满足端点值相等的条件。函数由多项式8x-x^2开三次方根构成，在区间[0,8]内，多项式8x-x^2非负，因此函数在整个闭区间上连续。然而，其可导性需要特别关注。
函数可导性与定理应用分析
函数f(x)在开区间(0,8)内的可导性是应用罗尔定理的关键。通过求导可得，f'(x) = (1/3)(8x - x^2)^(-2/3) * (8 - 2x)。观察发现，当x=0或x=8时，底数8x-x^2为零，导数表达式中出现负指数幂，导致导数不存在。因此，函数在区间的端点处不可导。但罗尔定理仅要求函数在开区间(a, b)内可导。在(0,8)内，8x-x^2 > 0，因此(8x-x^2)^(-2/3)有意义且不为零，导数f'(x)存在。故函数满足罗尔定理在(0,8)内可导的条件。综合来看，f(x)在[0,8]上连续，在(0,8)内可导，且f(0)=f(8)，完全满足罗尔定理的全部前提。
结论与存在点的求解
根据上述分析，罗尔定理的条件完全满足，因此可以断定在开区间(0,8)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。为了找到这样的点，我们令导数f'(x)=0，即(1/3)(8x - x^2)^(-2/3) * (8 - 2x) = 0。由于在(0,8)内(8x-x^2)^(-2/3)恒大于零，方程等价于8 - 2x = 0，解得x=4。显然，x=4位于区间(0,8)内部。因此，对于函数f(x) = (8x - x^2)^(1/3) 在[0,8]上，罗尔定理不仅成立，而且我们精确地找到了唯一的一点ξ=4，使得f'(4)=0。这个实例清晰地展示了罗尔定理的应用过程，并提醒我们注意验证定理条件，特别是端点处的函数值与区间内部的可导性。
