如何利用因式分解解一元三次方程？
解一元三次方程是代数学习中的一个重要环节，而因式分解是求解这类方程最直接、最核心的方法之一。一元三次方程的标准形式为 ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0)。利用因式分解求解的核心思想，是将这个复杂的三次多项式，转化为几个次数更低的、简单的多项式（如一次式或二次式）的乘积，即化为 (mx+n)(px²+qx+r)=0 的形式。这样一来，根据“乘积为零则至少一个因子为零”的原理，原方程的解就转化为求解一个一元一次方程和一个一元二次方程，问题便迎刃而解。
关键步骤与常用技巧
实施因式分解的第一步，是尝试寻找方程的“有理根”。对于整系数方程，我们可以利用有理根定理，测试常数项d的因数除以最高次项系数a的因数所构成的各种可能值。将这些可能值（如±1, ±2等）代入原方程，若能使方程成立，则该数值即为一个根，假设为r。根据因式定理，这意味着(x - r)是原多项式的一个因式。找到这个因式后，便可以使用多项式除法（如综合除法）将原三次多项式除以(x - r)，得到一个二次因式。最终，原方程被分解为 (x - r)(Ax²+Bx+C)=0。
完成因式分解后，求解过程就变得清晰明了。令每个因式等于零，即解 x - r = 0 和 Ax²+Bx+C = 0。前者直接给出一个实数根 x = r，后者则利用一元二次方程的求根公式，可能求出两个实数根或一对共轭复数根。因此，一个一元三次方程最多有三个实数根。通过这种“降次”策略，因式分解法将求解高次方程的难题，系统地转化为我们已经熟练掌握的低次方程求解问题，是处理可分解三次方程非常高效的工具。