两船航行问题解析
某船向东航行，速率为15km/h，在正午12点整准时经过某一灯塔。与此同时，另一艘船以20km/h的速率向正北方向航行，并在同一时刻（正午）位于灯塔正西方向10公里处。这是一个典型的相对运动与距离变化问题，常出现在物理学和数学的应用题中，用于考察速度合成与距离公式的应用。我们可以通过建立平面直角坐标系来清晰地描述两船的运动轨迹与相对位置关系。
运动模型与距离计算
以灯塔为坐标原点建立坐标系，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向。对于第一艘船（A船），其初始位置在原点(0,0)，速度向量为(15, 0)。因此，在正午过后t小时，其位置坐标为(15t, 0)。第二艘船（B船），初始位置在(-10, 0)，速度向量为(0, 20)，因此t小时后的位置坐标为(-10, 20t)。此时，两船之间的距离D可以通过两点间距离公式计算：D(t) = √[(15t - (-10))² + (0 - 20t)²] = √[(15t+10)² + (20t)²]。
进一步化简可得：D(t) = √(225t²+300t+100 + 400t²) = √(625t² + 300t + 100)。这个二次根式函数描述了任意时刻t两船间的距离。我们可以通过求导等方法分析距离变化的速率，或计算特定时刻（例如正午后半小时）的具体距离。这类问题不仅锻炼了数学建模能力，也体现了运动独立性原理在实际场景中的应用。
