知道三角形的周长和内切圆半径,怎么求三角形面积?
在几何学中，已知三角形的周长和内切圆半径，求其面积是一个经典且巧妙的问题。其核心在于一个简洁而重要的公式：三角形面积 = 半周长 × 内切圆半径。用字母表示，若设三角形的面积为S，周长为C，内切圆半径为r，则公式为 S = (C/2) × r。这个公式揭示了三角形面积、周长与内切圆半径三者之间深刻的内在联系，计算过程极为简便。
公式的原理与推导
这个公式的推导过程直观而优美。三角形的内切圆是与三条边都相切的圆，圆心到每条边的距离都等于半径r。连接内切圆的圆心与三角形的三个顶点，可以将原三角形分割成三个小三角形。每个小三角形都以原三角形的一条边为底，以内切圆圆心为顶点，其高恰好就是内切圆半径r。因此，三个小三角形的面积之和就是原三角形的总面积，即 S = (1/2 × a × r) + (1/2 × b × r) + (1/2 × c × r) = 1/2 × (a+b+c) × r = (C/2) × r。其中a, b, c为三角形的三边长。这个推导清晰地展示了公式的来源。
应用方法与实例
在实际解题时，应用此公式非常直接。只需将已知的周长数值除以2得到半周长，再乘以已知的内切圆半径，乘积即为三角形的面积。例如，若一个三角形的周长是24厘米，内切圆半径是3厘米，那么该三角形的面积 S = (24/2) × 3 = 12 × 3 = 36 平方厘米。这个方法避免了使用海伦公式等需要已知三边长的复杂计算，在满足条件（已知周长和内切圆半径）时是最优的求解路径，充分体现了数学的简洁之美与实用性。