两角和的正切公式及其应用
您所询问的表达式“{tan45+tan30}/{1-tan45tan30}”，其核心是数学中一个非常重要的三角恒等式——两角和的正切公式。该公式的标准形式为：tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα tanβ)。因此，您给出的表达式正是公式的右半部分，它等于左半部分，即 tan(45° + 30°)。这个公式在三角函数的化简、求值以及解决涉及角度和的几何与物理问题中有着广泛的应用。
公式的原理与推导
该公式的原理源于正弦和余弦的两角和公式。我们知道，tan(α+β) = sin(α+β)/cos(α+β)。而sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ，cos(α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ。将两者相除，并同时除以分子分母中的cosα cosβ（假设其不为零），即可推导出：tan(α+β) = (sinα/cosα + sinβ/cosβ) / (1 - (sinα sinβ)/(cosα cosβ)) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα tanβ)。这个推导过程清晰地展示了正切和差公式与基本三角函数定义的内在联系。
具体计算与意义
将具体角度代入，我们可以验证并计算其值。已知tan45° = 1，tan30° = √3/3。代入公式：tan(45°+30°) = (1 + √3/3) / (1 - 1 * √3/3) = [(3+√3)/3] / [(3-√3)/3] = (3+√3) / (3-√3)。通过分母有理化，最终结果为 2+√3。这正是tan75°的值。这个例子完美地展示了该公式如何将两个特殊角的正切值，组合成一个非特殊角（75°）的正切值，是三角函数运算中一个强有力的工具。