罗尔中值定理的条件分析
要判断函数 f(x) = √(2-x) 在闭区间 [0, 2] 上是否满足罗尔中值定理，首先需要明确该定理的三个核心条件：第一，函数在闭区间 [a, b] 上连续；第二，函数在开区间 (a, b) 内可导；第三，函数在区间端点处的函数值相等，即 f(a) = f(b)。对于本题，区间为 [0, 2]，因此我们需要逐一验证 f(x) 是否满足这些条件。
对函数 f(x) = √(2-x) 的逐条验证
首先，检查连续性。函数 f(x) = √(2-x) 是一个根式函数，其定义域为 2-x ≥ 0，即 x ≤ 2。在给定区间 [0, 2] 上，函数处处有定义，且在 x=2 处左连续，因此 f(x) 在闭区间 [0, 2] 上连续，满足第一个条件。其次，检查端点函数值：f(0) = √(2-0) = √2，f(2) = √(2-2) = 0。显然，f(0) ≠ f(2)，不满足罗尔定理的第三个关键条件。最后，检查可导性。在开区间 (0, 2) 内，f'(x) = -1/(2√(2-x))。当 x 趋近于 2 时，导数趋于负无穷，但导数在 (0,2) 内始终存在。然而，由于端点值不相等，即使可导性成立，也已不满足定理前提。
结论与说明
综上所述，尽管函数 f(x) = √(2-x) 在 [0,2] 上连续，在 (0,2) 内可导，但由于 f(0) ≠ f(2)，不满足罗尔定理的全部条件。因此，该判断题的结论应为“不满足”。值得注意的是，即使定理条件不满足，也不意味着结论一定不成立，但罗尔定理本身要求所有条件必须同时具备才能保证存在一点 ξ ∈ (a,b) 使得 f'(ξ)=0。在本例中，由于函数在区间内单调递减，端点值不等，事实上也不存在这样的驻点，这从反面印证了条件不可或缺的重要性。
