arctan(∞)与arctan(-∞)的值
在数学中，反正切函数arctan(x)（或记作tan⁻¹(x)）是正切函数tan(θ)在特定区间内的反函数。为了使其成为单值函数，通常将其值域（即输出角度θ的范围）限制在(-π/2, π/2)这个开区间内，或者有时也取闭区间[-π/2, π/2]。当我们探讨自变量x趋于正无穷或负无穷时，函数值的极限就变得非常明确且重要。
具体来说，当x趋向于正无穷时，即x → +∞，对应的角度θ会从第一象限无限接近90度，但不超过它。在弧度制下，90度等于π/2弧度。因此，arctan(+∞)的极限值为π/2。同理，当x趋向于负无穷时，即x → -∞，对应的角度θ会从第四象限无限接近-90度，即-π/2弧度。所以，arctan(-∞)的极限值为-π/2。需要强调的是，由于正负无穷本身不是实数，所以这里讨论的是函数的极限值，通常也直接记作arctan(∞) = π/2 和 arctan(-∞) = -π/2。
几何意义与应用
从几何角度看，这个结果非常直观。在直角坐标系中，角度θ的正切值tan(θ)定义为对边与邻边的比值（y/x）。当比值x/y中的x固定而y无限增大时（即点沿y轴向上无限远离原点），直线与x轴正方向的夹角就无限接近90°（π/2）。反之，当y无限减小（向负方向远离）时，夹角就无限接近-90°（-π/2）。这一特性使得反正切函数在工程和科学中极为有用，例如在信号处理中计算相位角，或在导航中由坐标差值计算方位角（并需根据象限进行修正）。理解这两个极限值是掌握反正切函数全局行为的基础。