解一元三次方程的方法与过程
解一元三次方程是代数学习中的一个重要环节。通常，我们面对的标准形式为 ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0)。求解过程一般遵循几个关键步骤：首先，尝试使用因式分解法，观察方程是否有明显的有理数根；其次，若无法直接分解，则可能采用卡尔丹公式法等通用解法。下面，我们以一个具体例子来演示详细过程。
例题详解与步骤
假设我们需要解方程：x³ - 3x² - 4x + 12 = 0。第一步，我们尝试寻找有理数根。根据有理根定理，可能的根是常数项12的因数，即±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12。代入x=2：8 - 12 - 8 + 12 = 0，因此x=2是一个根。第二步，利用因式定理，将原方程除以因式(x-2)。使用多项式除法或综合除法，得到商式为x² - x - 6。于是原方程化为(x-2)(x² - x - 6)=0。第三步，解二次方程x² - x - 6=0，因式分解为(x-3)(x+2)=0，解得x=3和x=-2。
综上所述，方程x³ - 3x² - 4x + 12 = 0的解为x₁=2，x₂=3，x₃=-2。整个过程体现了“试根-降次-求解”的核心思路。对于更复杂、无法轻易找到有理根的三次方程，则需采用更通用的公式或数值方法，但掌握上述基本流程是理解和解决大多数问题的关键。