tan²x 的基本定义与恒等式
在三角函数中，tan²x 表示正切函数 tan x 的平方，即 (tan x)²。这是一个非常常见的三角函数表达式。根据正切函数的定义，tan x = sin x / cos x，因此 tan²x 可以直接写作 (sin x / cos x)² = sin²x / cos²x。这是其最基础的代数形式。然而，在数学运算和简化中，我们更常使用与其它三角函数相关的恒等式。其中最重要的一个恒等式来源于三角函数的毕达哥拉斯恒等式 sin²x + cos²x = 1。将该等式两边同时除以 cos²x，即可得到 tan²x + 1 = sec²x。因此，我们得到了一个核心结论：tan²x = sec²x - 1。
恒等式的推导与应用
上述恒等式 tan²x = sec²x - 1 的推导过程清晰而严谨。从 sin²x + cos²x = 1 出发，除以 cos²x 后得到 (sin²x/cos²x) + (cos²x/cos²x) = 1/cos²x，即 tan²x + 1 = sec²x，移项便得结果。这个等式在微积分和三角表达式简化中极为有用。例如，在求解积分 ∫ tan²x dx 时，我们可以利用此恒等式将其转化为 ∫ (sec²x - 1) dx，而 sec²x 的积分是 tan x，1的积分是 x，所以最终结果为 tan x - x + C（C为常数）。这大大简化了计算过程。
总结与扩展
综上所述，tan²x 主要有两种等价的表达式：一是基于定义的 sin²x / cos²x；二是基于恒等式的 sec²x - 1。后者在理论和实际应用中更为强大。理解并熟练运用这个简单的恒等式，是掌握三角函数变换、求解三角方程以及进行相关微积分运算的关键一步。它体现了三角函数之间深刻的内在联系，将正切函数与正割函数紧密地关联在一起。