什么是凹函数与凸函数？
在数学，尤其是微积分和优化理论中，凹函数与凸函数是描述函数图形弯曲方向的两个核心概念。直观上，我们可以通过连接函数图像上任意两点的线段与函数图像本身的位置关系来区分它们。对于一个凸函数，其图像上任意两点间的线段总是位于函数图像的上方或与之重合；相反，对于一个凹函数，其图像上任意两点间的线段总是位于函数图像的下方或与之重合。这种几何特性决定了它们在优化问题中的不同角色：凸函数通常有唯一的全局最小值，而凹函数则有唯一的全局最大值。
数学定义与性质
从严格的数学定义来看，凸函数需满足：对于定义域内任意两点x₁和x₂，以及任意λ∈[0,1]，都有f(λx₁+(1-λ)x₂) ≤ λf(x₁)+(1-λ)f(x₂)。这意味着函数值在两点连线之下。凹函数的定义则将此不等式方向反转：f(λx₁+(1-λ)x₂) ≥ λf(x₁)+(1-λ)f(x₂)。在可导的情况下，凸函数的一阶导数单调不减，二阶导数非负；凹函数的一阶导数单调不增，二阶导数非正。一个常见的记忆方法是：开口向上的函数（如y=x²）是凸函数，开口向下的函数（如y=-x²）是凹函数。
应用与重要性
凸函数与凹函数的概念在经济学、工程学、机器学习等领域至关重要。在经济学中，凹效用函数反映了边际效用递减规律，而凸成本函数则可能表示规模不经济。在机器学习中，许多损失函数被设计为凸函数，以确保优化算法能高效、可靠地找到全局最优解，避免陷入局部最优。理解函数的凹凸性，不仅有助于分析函数的图形特征，更是解决实际优化问题的理论基础。