圆周率的本质：有理数还是无理数？
圆周率π是一个在数学和科学中无处不在的常数，它表示圆的周长与直径之比。关于它是有理数还是无理数的问题，答案非常明确：圆周率是一个无理数。根据无理数的严格数学定义，无理数是不能表示为两个整数之比的实数，其十进制表示是无限不循环的小数。早在18世纪，数学家约翰·海因里希·朗伯就用连分数法严格证明了π是无理数。这意味着，无论我们计算到小数点后多少万亿位，都无法找到一个重复的循环节，也无法找到一个精确的分数来完全等于π。
对“用分数表示”的常见误解
标题中提到的“它可以用分数来表示，即分母为直径分子”，这实际上是一个普遍的误解。这里混淆了“定义”与“数值表示”。圆周率的定义是“圆周长与直径的比值”，即 π = C/d。这确实是一个比例形式，但关键在于，对于任何一个具体的、物理的圆，其周长C和直径d不可能同时为整数或有限小数。这个比值是一个固定的常数，而并非一个由两个确定整数构成的分数。当我们说“分数”在数学中特指有理数时，其分子和分母必须是整数。而C/d中的C和d，只要有一个是无理数，其结果就不能称为有理分数。事实上，π的超越性（由林德曼证明）更进一步表明，它甚至不是任何整系数代数方程的根，这彻底否定了它能被精确写为两个整数之比的可能性。
因此，尽管我们在计算中常用如22/7、355/113等分数来近似表示π，但这些都只是非常精确的近似值，而非π的精确值。π的无限不循环小数特性，决定了它是一个典型的、经典的无理数。理解这一点，有助于我们更深刻地认识数学常数的本质以及数学定义的精确性。