已知微分方程的通解如何反求原方程
在微分方程的学习中，我们通常是由给定的方程出发求解其通解。然而，逆向思考——已知通解反求原微分方程——也是一个重要的训练，它能加深我们对解的结构与方程本身之间联系的理解。这一过程的核心在于利用通解中任意常数的个数与微分方程的阶数之间的关系，通过求导来消去这些常数，从而重建方程。
核心方法与具体步骤
反求微分方程的关键步骤是系统性地消去通解中的所有任意常数。首先，明确通解中独立任意常数的个数，这决定了所求微分方程的阶数。例如，若通解包含C1和C2两个独立常数，则目标方程为二阶微分方程。接着，对通解表达式连续求导，直至求导次数等于任意常数的个数，从而得到一组包含原变量、各阶导数以及这些常数的方程。最后，将这组方程联立，通过代数运算（如代入法或消元法）消去所有任意常数，最终得到一个仅包含原变量及其各阶导数的关系式，这便是所求的微分方程。
举例说明，若已知通解为 y = C₁e^x + C₂e^(-x)。首先，它包含两个独立常数，故方程为二阶。对y求一阶和二阶导数，得到y' = C₁e^x - C₂e^(-x) 和 y'' = C₁e^x + C₂e^(-x)。观察发现，y'' 的表达式恰好等于y本身。因此，无需复杂消元，我们直接得到所求微分方程为 y'' - y = 0。这个过程清晰地展示了如何从解的结构回溯到方程的本质。