极限问题：lim(x,y)→(0,0) (x²+y²)^(xy) 的探讨

在多元函数极限的研究中，形如 lim_{(x,y)→(0,0)} (x²+y²)^xy 的表达式是一个经典且富有启发性的例子。这个极限的核心在于，底数 (x²+y²) 在趋向原点时会趋近于0，而指数 xy 同样趋近于0。这就构成了一个典型的“0⁰”型未定式。处理这类问题的关键在于将其转化为易于分析的形式，通常的做法是取自然对数，将幂指函数转化为乘积形式。CZ4雨露学习互助

具体分析过程如下：设原函数为 f(x,y) = (x²+y²)^xy。首先考虑其对数：ln f(x,y) = xy · ln(x²+y²)。接下来，我们考察当 (x,y) 沿不同路径趋向于 (0,0) 时，这个表达式的行为。一个常用的技巧是引入极坐标变换：令 x = r cosθ, y = r sinθ，其中 r→0。代入得：ln f = (r² cosθ sinθ) · ln(r²) = r² (sin2θ/2) · 2 ln r = r² ln r · sin2θ。现在，问题转化为求极限 lim_r→0 r² ln r · sin2θ。由于 |sin2θ| ≤ 1，而我们知道 lim_r→0 r² ln r = 0（这可以通过洛必达法则验证）。因此，无论角度θ如何变化，极限 lim_r→0 r² ln r · sin2θ = 0。CZ4雨露学习互助

结论与意义

既然 ln f(x,y) 的极限为0，那么根据指数函数的连续性，原函数的极限 f(x,y) 的极限就是 e⁰ = 1。因此，我们得出结论：lim_{(x,y)→(0,0)} (x²+y²)^xy = 1。这个结果展示了多元函数极限的一个重要特性：尽管路径无穷多，但只要表达式能统一地控制并趋于一个确定值，极限就存在。此例也完美演示了处理“0⁰”型未定式的标准方法——对数化结合极坐标变换，是分析多元函数极限的典范思路。CZ4雨露学习互助