毕达哥拉斯的几何验证
据传，古希腊数学家毕达哥拉斯曾借助两个巧妙构造的几何图形，直观地验证了著名的勾股定理，即直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。其中一种广为流传的证明方法，依赖于一个经典的“弦图”或“毕达哥拉斯定理证明图”。该图形通常由四个全等的直角三角形和一个中心的小正方形，共同嵌套在一个大正方形内构成。通过观察和比较图形面积的不同表达方式，便能揭示勾股定理的奥秘。
图形中的面积奥秘
具体而言，设直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边为c。首先，将四个这样的直角三角形以其直角顶点朝外的方式，围绕中心拼接，形成一个边长为(a+b)的大正方形。此时，大正方形的内部区域，由中心的一个边长为(b-a)或(a-b)的小正方形（取决于a和b的大小关系）和四个直角三角形组成。整个大正方形的面积可以表示为(a+b)²。另一方面，这个总面积也等于四个三角形面积（4 × ½ab = 2ab）加上中间小正方形的面积(b-a)²。通过代数运算：(a+b)² = a² + 2ab + b²，而2ab + (b-a)² = 2ab + (b² - 2ab + a²) = a² + b²。由此，我们得到了a² + b²的表达式。
然而，验证的关键一步在于换一个角度计算同一个大正方形的面积。观察图形可以发现，这四个直角三角形也恰好可以重组为以斜边c为边长的两个矩形，或者更直接地，大正方形的面积也等于以斜边c为边长构成的一个倾斜的正方形（即由四个三角形的斜边作为边所围成的中心区域，在另一种经典摆法中）加上四个三角形的面积。在另一种常见的“弦图”摆法中，中间直接就是一个边长为c的正方形。此时，大正方形面积(a+b)²就等于中间的正方形面积c²加上四个三角形面积2ab。令两种方式计算的总面积相等：a² + 2ab + b² = c² + 2ab，等式两边同时消去2ab，便得到了简洁而优美的勾股定理：a² + b² = c²。