已知不等式解集中恰有三个整数的分析
题目给出的不等式为 x² - 6x + a(6-a) < 0。要理解其解集，首先需要分析其对应的二次函数 y = x² - 6x + a(6-a)。该二次函数的二次项系数为正，因此图像开口向上，小于0的部分对应的是函数图像位于x轴下方的区间，即该不等式的解集是一个开区间 (x₁, x₂)，其中 x₁, x₂ 是方程 x² - 6x + a(6-a) = 0 的两个根。根据求根公式，这两个根为 x = 3 ± √(9 - a(6-a))。化简判别式部分：9 - a(6-a) = 9 - 6a + a² = (a-3)²。因此，方程的两个根简化为 x = 3 ± |a-3|。这意味着解集区间的长度直接由 |a-3| 决定。
解集结构与整数条件
由于根为 3 ± |a-3|，解集区间 (3 - |a-3|, 3 + |a-3|) 以 x=3 为中心对称。题目要求解集中“恰有三个整数”，这表明在开区间内，整数的个数必须恰好为3。考虑到区间的对称中心是3，最可能包含的三个连续整数是2, 3, 4。为了确保开区间内只有这三个整数，区间的左端点必须大于1且小于等于2，同时右端点必须大于等于4且小于5。即需要满足：1 < 3 - |a-3| ≤ 2 且 4 ≤ 3 + |a-3| < 5。由这两个不等式可以解出 |a-3| 的范围：从左边得到 1 ≤ |a-3| < 2，从右边得到 1 ≤ |a-3| < 2，两者一致。因此 |a-3| ∈ [1, 2)。
由此可得 a-3 ∈ (1, 2) 或 a-3 ∈ (-2, -1]。解得 a 的取值范围是 (4, 5) ∪ (1, 2]。这是确保解集区间内恰好包含整数2,3,4的条件。需要验证边界：当 |a-3|=1 时，区间为(2,4)，整数解只有3，不符合；当 |a-3|=2 时，区间为(1,5)，整数解为2,3,4，符合“恰有三个”。但需注意区间是开区间，端点1和5不在解集内，因此整数解确实只有2,3,4。所以 |a-3| 可以等于2，即 a=5 或 a=1。结合范围，最终 a ∈ (1, 2] ∪ [5, 6)。此即为满足题目要求的实数 a 的取值范围。
