xsinx的原函数求解
在微积分中，求一个函数的原函数，即求其不定积分。对于函数 f(x) = x sin x，其原函数并非基本初等函数的简单组合，需要通过分部积分法来求解。分部积分法的公式来源于两个函数乘积的导数规则，其表达式为 ∫ u dv = uv - ∫ v du。求解的关键在于恰当地选择 u 和 dv。
分部积分法的应用过程
对于积分 ∫ x sin x dx，我们选择令 u = x，dv = sin x dx。这样选择的原因是，对 u = x 求导后得到 du = dx，可以简化被积表达式。接着，对 dv = sin x dx 积分得到 v = -cos x。代入分部积分公式：∫ x sin x dx = x * (-cos x) - ∫ (-cos x) dx = -x cos x + ∫ cos x dx。而 ∫ cos x dx 的基本积分是 sin x。因此，我们得到 ∫ x sin x dx = -x cos x + sin x + C，其中 C 为任意常数。
这个结果可以通过求导进行验证：对 F(x) = -x cos x + sin x + C 求导，F'(x) = -cos x + x sin x + cos x = x sin x，正好等于被积函数，从而确认了结果的正确性。因此，x sin x 的原函数族是 -x cos x + sin x + C。