求解cos⁴(x)的不定积分：方法与步骤
求解∫cos⁴(x) dx的不定积分，是微积分中的一个经典问题。由于被积函数是三角函数的偶次幂，直接积分较为困难，因此需要运用三角恒等式进行降幂处理。最核心的公式是余弦的二倍角公式：cos²θ = (1 + cos2θ)/2。我们的目标是将cos⁴(x)转化为一次项和低倍角余弦函数的组合，从而使得积分变得可行。
详细的推导过程
首先，我们将cos⁴(x)重写为[cos²(x)]²，并应用降幂公式：cos⁴(x) = [(1 + cos2x)/2]² = (1/4)(1 + 2cos2x + cos²2x)。此时，表达式中的cos²2x仍然是一个二次项，需要再次应用降幂公式：cos²2x = (1 + cos4x)/2。将其代入上式，得到：cos⁴(x) = (1/4)[1 + 2cos2x + (1+cos4x)/2] = (1/4)[3/2 + 2cos2x + (cos4x)/2] = 3/8 + (1/2)cos2x + (1/8)cos4x。
现在，被积函数已化为三项简单函数的和，可以逐项积分：∫cos⁴(x) dx = ∫[3/8 + (1/2)cos2x + (1/8)cos4x] dx。计算每一项的不定积分：∫(3/8) dx = (3/8)x；∫(1/2)cos2x dx = (1/4)sin2x（注意链式法则的补偿）；∫(1/8)cos4x dx = (1/32)sin4x。最后，加上积分常数C，得到最终结果：∫cos⁴(x) dx = (3/8)x + (1/4)sin2x + (1/32)sin4x + C。
结论与验证
通过两次运用三角恒等式进行降幂，我们成功求得了cos⁴(x)的不定积分。这个结果可以通过求导进行验证，其导数应等于原被积函数cos⁴(x)。此方法具有通用性，可用于求解任意余弦或正弦的偶次幂积分。掌握这种降幂技巧，对于解决更复杂的三角积分问题至关重要。