sin3x的化简方法与推导
在三角函数的学习中，化简sin3x是一个常见的问题。其核心思路是利用三角函数的和角公式，将3x拆分为2x + x，然后逐步展开。首先，根据正弦的和角公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB。将A设为2x，B设为x，则sin3x = sin(2x + x) = sin2x cosx + cos2x sinx。
逐步推导与最终公式
接下来，我们需要将sin2x和cos2x用单角x的三角函数表示。已知sin2x = 2sinx cosx，而cos2x有两个常用等价形式：cos²x - sin²x 或 2cos²x - 1 或 1 - 2sin²x。我们选择代入cos2x = cos²x - sin²x。于是得到：sin3x = (2sinx cosx) * cosx + (cos²x - sin²x) * sinx = 2sinx cos²x + sinx cos²x - sin³x。合并同类项后为：3sinx cos²x - sin³x。
为了得到更统一的形式，可以利用恒等式cos²x = 1 - sin²x进行替换。代入得：sin3x = 3sinx(1 - sin²x) - sin³x = 3sinx - 3sin³x - sin³x = 3sinx - 4sin³x。这便是sin3x最常用的三倍角公式化简结果。同理，使用其他cos2x形式或余弦公式也可推导出cos3x的表达式。掌握此推导过程，能帮助您更深入地理解三角函数公式之间的联系。