Cos15°等于多少？
在三角函数的学习中，15°是一个特殊且常见的角度，其余弦值cos15°是一个精确的无理数。通过三角恒等变换，我们可以精确地计算出它的值。最常用的方法是利用两角差的余弦公式：cos(A - B) = cosA cosB + sinA sinB。将15°拆分为45°与30°之差，即cos15° = cos(45° - 30°)。代入已知的三角函数值：cos45° = √2/2， cos30° = √3/2， sin45° = √2/2， sin30° = 1/2。计算可得：cos15° = (√2/2)*(√3/2) + (√2/2)*(1/2) = (√6 + √2) / 4。
数值结果与几何意义
因此，cos15°的精确值为(√6 + √2)/4。这是一个正的无理数，其近似小数约为0.9659258262890683。在几何上，这个值可以理解为一个顶角为30°的等腰三角形中，以腰长为1时，底边上的高所对应的邻边与斜边的比值。此外，15°角的正弦值sin15°也可以通过类似方法求得为(√6 - √2)/4，两者在形式上具有对称之美。掌握这个值的推导过程，不仅有助于解决具体的数学问题，更能加深对三角函数和差公式的理解与应用。
应用与重要性
了解cos15°的精确值在数学、物理和工程领域都有实际意义。例如，在涉及15°或75°角的力学分解、交流电相位计算、或某些几何图形的边长与面积求解时，这个值会直接出现。它也是进一步推导其他复杂三角函数值的基础。相比于直接记忆结果，理解其推导过程更为重要，这体现了将非特殊角转化为特殊角进行求解的核心数学思想。