理解“有公共切线”的数学含义
当我们说两个函数曲线 y=f(x) 与 y=g(x)（此处 g(x)=x²-x）在点 (0,1) 处有公共的切线时，其核心含义包含两个紧密相连的几何与代数条件。首先，从几何直观上看，这意味着两条曲线在 x=0 这一点相交，并且“擦肩而过”时，拥有完全相同的接触角度和方向，即它们共享同一条直线作为切线。因此，这直接引出了两个基本要求：第一，两条曲线必须都经过点 (0,1)，即函数值相等 f(0)=g(0)=1；第二，它们在这一点处的导数（切线的斜率）也必须相等，即 f'(0)=g'(0)。
具体条件分析与计算
让我们针对给定的具体函数 g(x)=x²-x 进行分析。首先，计算 g(x) 在 x=0 处的函数值：g(0)=0²-0=0。但这与题目中指定的公共点 (0,1) 矛盾，因为 g(0)=0 ≠ 1。这里就出现了关键点：题目表述“在(0,1)处”可能意指该点的坐标为 (0,1)。若严格按照此坐标，则 g(0)=0，说明曲线 y=x²-x 根本不经过(0,1)。因此，一个合理的解释是，题目本意可能是指“在 x=0 处”有公共切线，而该点的纵坐标需要由函数值决定。若假设公共切点横坐标为 x=0，那么对于 g(x)，切点实际是 (0,0)，而非(0,1)。要使公共点为(0,1)，则需重新审视。更可能的情况是，题目条件隐含了 f(0)=1，且要求 f'(0)=g'(0)。我们先计算 g'(x)=2x-1，因此 g'(0)=-1。所以，对函数 f(x) 的条件是：f(0)=1 且 f'(0)=-1。
综上所述，“有公共切线”是一个强约束条件，它要求函数在接触点处“值相等”且“斜率相等”。对于标题中的具体描述，我们需要特别注意点坐标的准确性。在实际解题中，这通常意味着我们可以利用这两个等式来求解未知函数 f(x) 中的特定参数，或者理解两个函数在局部范围内的近似关系。这种概念在微积分、优化和曲线拟合等领域有着广泛的应用。
