矩形中的垂直关系与几何性质
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。根据矩形的性质，对角线不仅互相平分，而且长度相等。因此，点O既是AC的中点，也是BD的中点，且有AO=BO=CO=DO。题目中进一步给出条件：AE垂直于BD于点E。这意味着从顶点A向对角线BD引了一条垂线，垂足为E。这个垂直关系的引入，立刻在图形中构造出了一组重要的直角三角形，即△AEB和△AED，同时也将点E与矩形的中心点O联系了起来，为分析线段之间的长度和角度关系奠定了基础。
关键几何关系的分析与推导
由于AE⊥BD，在直角三角形AEB中，∠AEB是直角。结合矩形的内角均为直角这一条件，我们可以发现更多有趣的几何关系。例如，∠ABD与∠BAE互余（因为它们都是直角三角形AEB中的锐角）。同时，在矩形中，对角线将矩形分成四个等腰三角形，如△AOB。若矩形邻边长度已知，设AB=a，BC=b，则对角线BD的长度可由勾股定理求得为√(a²+b²)，而AO和BO的长度均为对角线的一半。垂足E的位置取决于矩形的形状（即长宽比）。当矩形为正方形时，由于对称性，点E将与点O重合，此时AE成为对角线的一部分。在非正方形的矩形中，点E位于点O与点D（或点B）之间。
此外，线段AE的长度可以通过面积法方便地求解。矩形ABCD的面积可表示为AB×BC = a×b。同时，三角形ABD的面积是矩形面积的一半，即(1/2)ab。而三角形ABD的面积也可以表示为(1/2)×BD×AE。由此可得等式：(1/2)ab = (1/2)×√(a²+b²)×AE，从而推导出垂线段AE的长度公式为：AE = (ab) / √(a²+b²)。这一结论清晰地揭示了线段AE与矩形两边长的定量关系，是本题中一个核心的几何结论。