多项式因式分解的思路探索
对于多项式 2x^5+7x^4+12x^3+14x^2+10x+3 的因式分解，首先观察其系数。这是一个五次多项式，直接分解较为复杂。常用的策略是尝试寻找有理根。根据有理根定理，可能的有理根是常数项3的因子除以最高次项系数2的因子，即 ±1, ±3, ±1/2, ±3/2。通过代入检验，发现 x = -1 时，多项式的值为 2*(-1)^5+7*(-1)^4+12*(-1)^3+14*(-1)^2+10*(-1)+3 = -2+7-12+14-10+3 = 0，因此 (x+1) 是一个因式。
逐步分解过程
利用多项式除法（或综合除法），将原多项式除以 (x+1)。得到商式为 2x^4+5x^3+7x^2+7x+3。接下来对四次多项式 2x^4+5x^3+7x^2+7x+3 继续分解。再次尝试有理根，代入 x = -1，发现其值也为0，因此 (x+1) 仍然是其因式。再次进行除法运算，得到 2x^3+3x^2+4x+3。观察这个三次多项式，尝试分组分解：将其分为 (2x^3+3x^2) + (4x+3) = x^2(2x+3) + 1*(4x+3)，分组不成功。转而尝试 x = -3/2，发现满足，故 (2x+3) 是一个因式。通过除法，得到商式为 x^2+1。
最终结果与验证
综合以上步骤，原多项式被分解为 (x+1)^2 * (2x+3) * (x^2+1)。其中 (x^2+1) 在实数范围内不可再分解。因此，最终的因式分解结果为：2x^5+7x^4+12x^3+14x^2+10x+3 = (x+1)^2 (2x+3) (x^2+1)。我们可以通过将分解后的因式乘开来验证其正确性，这能确保分解过程的准确性。整个分解过程的关键在于反复应用有理根定理和多项式除法，逐步降低多项式的次数。