概率论中“X,Y同分布”的含义
在概率论与数理统计中，“随机变量X与Y同分布”是一个核心概念。它并非指X与Y在每次试验中取相同的值，而是指它们遵循完全相同的概率规律。具体而言，这意味着对于实数轴上的任意一个集合（或区间），随机变量X落入该集合的概率与随机变量Y落入该集合的概率完全相等。从分布函数的角度，严格的数学定义是：对任意实数t，都有F_X(t) = P(X ≤ t) = P(Y ≤ t) = F_Y(t)。如果X和Y是离散型随机变量，则它们拥有相同的取值集合和相同的概率质量函数；如果是连续型，则它们拥有相同的概率密度函数。同分布保证了X和Y在统计特性上的一致性，例如具有完全相同的数学期望E(X)=E(Y)和方差D(X)=D(Y)。
协方差公式与同分布下的分析
协方差是衡量两个随机变量线性相关程度的量，其定义为：cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]。现在，我们考虑一个特殊但值得辨析的情形：如果X与Y同分布，是否意味着cov(X, Y) = cov(X, X)？这里cov(X, X)正是随机变量X的方差D(X)。问题的关键在于，X与Y同分布只保证了两者各自的“边缘分布”相同，即E(X)=E(Y)且D(X)=D(Y)，但完全没有规定X与Y之间的关系。它们可能相互独立，也可能存在强烈的正相关或负相关。因此，cov(X, Y)的值取决于X与Y的联合分布，其范围可以从 -D(X) 到 +D(X)。
所以，等式cov(X, Y) = cov(X, X) = D(X)成立需要非常强的条件，即X与Y不仅同分布，而且其协方差必须恰好等于X自身的方差。这等价于要求X与Y完全正线性相关，在概率上几乎处处有Y = aX + b的关系（且由于同分布和期望相同，可推出a=1, b=0，即几乎处处X=Y）。在绝大多数情况下，仅凭“同分布”这一条件，我们无法推出cov(X, Y) = cov(X, X)。这个辨析清晰地揭示了“同分布”描述的是个体属性，而“协方差”描述的是两者间的关系，二者属于不同维度的概念。