关于一个常用的变上限积分求导公式
在微积分学中，变上限积分求导公式是一个极为重要且实用的工具。其基本形式为：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则变上限积分函数Φ(x) = ∫ax f(t) dt 在[a, b]上可导，且其导数为 Φ'(x) = f(x)。这个结论通常被称为微积分基本定理的第一部分。它深刻地揭示了微分与积分这两个看似互逆的运算之间的内在统一性，即导数是积分上限的函数，其导数恰好等于被积函数在上限处的值。
公式的扩展与应用
在实际问题中，积分上下限往往更为复杂。因此，更常用的推广形式是莱布尼茨公式：当积分上限u(x)和下限v(x)均为x的可导函数，被积函数f(x, t)关于x连续且偏导数存在时，有 d/dx [∫v(x)u(x) f(x, t) dt] = f(x, u(x))·u'(x) - f(x, v(x))·v'(x) + ∫v(x)u(x) ∂f(x, t)/∂x dt。当被积函数仅与t有关时，公式简化为 f(u(x))·u'(x) - f(v(x))·v'(x)。这个扩展公式极大地增强了处理变限积分求导问题的能力。
该公式在数学分析、物理及工程领域有着广泛的应用。例如，在求解含积分项的微分方程、分析由积分定义的函数的性质（如单调性、凹凸性），以及计算某些特殊函数的导数时，它都是不可或缺的。掌握其核心思想——将积分视为上下限函数的复合函数，并综合运用链式法则与微积分基本定理，是正确理解和运用该公式的关键。