一元二次方程两根之和与差
一元二次方程的标准形式为 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)。根据代数基本定理，它有两个根（可能相等或为复数），记为 x₁ 和 x₂。这两个根与方程的系数之间存在着优美而重要的关系，这由韦达定理所揭示。具体而言，韦达定理指出：对于方程 ax² + bx + c = 0，其两根之和 x₁ + x₂ = -b/a，两根之积 x₁x₂ = c/a。这个结论可以通过将方程写成 a(x - x₁)(x - x₂) = 0 并展开后比较系数直接得到。
两根之和与差的推导与应用
基于韦达定理，两根之和的公式 x₁ + x₂ = -b/a 非常直接。那么两根之差呢？我们可以通过代数变换求得：x₁ - x₂ = ±√[(x₁ - x₂)²]。而 (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = (-b/a)² - 4(c/a) = (b² - 4ac) / a²。因此，x₁ - x₂ = ±√(b² - 4ac) / |a|。这里出现的 b² - 4ac 正是判别式Δ，它决定了根的性质（实根或复根，相等或不相等）。
这两个关系式在数学中应用广泛。例如，已知一根时，可快速求出另一根；在不直接解方程的情况下，可以构造以两根为根的新方程；在解析几何中，用于求抛物线与x轴交点之间的距离等。理解并熟练运用两根之和与差的关系，是掌握一元二次方程理论的关键一步。