全概率公式与样本空间划分
全概率公式是概率论中解决复杂事件概率的重要工具，其核心思想是“化整为零”。当直接计算某个事件A的概率较为困难时，我们可以找到一个完备事件组（即样本空间的一个划分），将事件A分解为在这个划分下各个部分概率的总和。所谓样本空间的划分，是指将样本空间Ω分解为一系列互不相容（即两两互斥）且它们的并集等于Ω的事件B₁, B₂, ..., Bn。全概率公式即为：P(A) = Σ P(Bi) * P(A|Bi)。因此，寻找一个合适且便于计算的划分，是应用全概率公式成功的关键。
实例分析：甲乙文具盒中的笔
以“甲乙文具盒内都有2支蓝色笔”为起点，我们可以构建一个具体问题来阐释划分的寻找。假设甲文具盒有2支蓝笔和3支红笔，乙文具盒有2支蓝笔和1支红笔。现随机选择一个文具盒，并从中随机取出一支笔，问取到蓝笔的概率是多少？这里，直接计算概率需要考虑两个步骤，自然适合用全概率公式。我们选择“随机选中的是哪个文具盒”作为划分事件，因为它满足划分的条件：第一，选中甲盒与选中乙盒是互斥的；第二，除了这两个选项，没有其他可能（即完备）。设事件B₁为“选中甲盒”，B₂为“选中乙盒”，事件A为“取到蓝笔”。通常假设选择盒子是等可能的，即P(B₁)=P(B₂)=1/2。接下来，计算条件概率：在甲盒中取到蓝笔的概率P(A|B₁)=2/5，在乙盒中取到蓝笔的概率P(A|B₂)=2/3。
应用全概率公式：P(A) = P(B₁)P(A|B₁) + P(B₂)P(A|B₂) = (1/2)*(2/5) + (1/2)*(2/3) = 1/5 + 1/3 = 8/15。通过这个例子可以看出，划分的选取往往与实验的“阶段”或“原因”相对应。在这个问题中，笔的来源（哪个盒子）是导致最终结果不同的根本原因，以此为划分，逻辑清晰，计算简便。掌握这种寻找“自然原因”或“决策阶段”作为划分依据的方法，就能熟练运用全概率公式解决各类实际问题。
