y^2=2x,---->x=y^2/2 y=x-4,---->x=y+4. y^2=2x与y=x-4的交点是 (2,-2) (8,4) 所围成的图形的面积=∫ (4,-2), [ (y+4)-y^2/2]dy= [y^2/2+4y-y^3/6], (4,-2) = (4 ...
计算由抛物线y^2=2x和直线y=x-4所围成的图形的面积
要计算由抛物线 \(y^2 = 2x\) 和直线 \(y = x - 4\) 所围成的图形的面积，首先需要确定两条曲线相交的点。我们将两个方程联立求解：将 \(x = y + 4\)（由直线方程变形得到）代入抛物线方程 \(x = y^2 / 2\)，得到方程 \(y^2 / 2 = y + 4\)。整理后得到一元二次方程 \(y^2 - 2y - 8 = 0\)，解得 \(y_1 = 4\)， \(y_2 = -2\)。将y值代回直线方程，求得对应的x坐标：当 \(y=4\) 时，\(x=8\)；当 \(y=-2\) 时，\(x=2\)。因此，两个交点为 \((2, -2)\) 和 \((8, 4)\)。
面积计算过程与结果
观察图形，在交点对应的y值区间 \([-2, 4]\) 内，对于同一个y值，直线的横坐标 \(x_L = y + 4\) 大于抛物线的横坐标 \(x_P = y^2 / 2\)。因此，围成图形的面积宜采用对y积分的方法更为简便，即计算“右曲线”减去“左曲线”的积分。面积A的公式为：\[A = \int_{-2}^{4} [(y+4) - (\frac{y^2}{2})] \, dy\]。接下来计算该定积分：首先求原函数，\(\int (y+4 - \frac{1}{2}y^2) \, dy = \frac{1}{2}y^2 + 4y - \frac{1}{6}y^3\)。然后代入上下限：当 \(y=4\) 时，值为 \(\frac{1}{2}\times16 + 16 - \frac{1}{6}\times64 = 8+16-\frac{64}{6} = 24 - \frac{32}{3} = \frac{40}{3}\)；当 \(y=-2\) 时，值为 \(\frac{1}{2}\times4 - 8 - \frac{1}{6}\times(-8) = 2-8+\frac{4}{3} = -6 + \frac{4}{3} = -\frac{14}{3}\)。两者相减：\(\frac{40}{3} - (-\frac{14}{3}) = \frac{54}{3} = 18\)。
综上所述，由抛物线 \(y^2 = 2x\) 和直线 \(y = x - 4\) 所围成的封闭图形的面积为18个平方单位。本题的关键在于选择恰当的积分变量（y）以简化计算，避免了对曲线分段处理的麻烦，使得求解过程清晰直接。
