已知两点坐标，如何求线段的长度
在平面几何中，已知线段两个端点的坐标，求其长度是一个基础且重要的问题。其核心原理源于著名的勾股定理。假设我们有两个点A和B，其坐标分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)。我们可以将这两点投影到坐标轴上：线段在水平方向（x轴）上的投影长度为|x₂ - x₁|，在垂直方向（y轴）上的投影长度为|y₂ - y₁|。这两个投影与线段本身恰好构成一个直角三角形的两条直角边和斜边。因此，根据勾股定理，线段AB的长度d就等于这两个直角边长度的平方和的算术平方根。
核心公式与应用
由此，我们得到计算两点间距离（即线段长度）的通用公式：d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]。这个公式简洁而强大，是解析几何的基石之一。例如，若已知点A(1, 2)和点B(4, 6)，则长度计算过程为：先求坐标差，x方向差为4-1=3，y方向差为6-2=4；然后计算平方和3²+4²=9+16=25；最后开方得√25=5。因此，线段AB的长度为5个单位。这个计算过程清晰地展示了如何将几何问题转化为代数运算。
此方法不仅适用于平面直角坐标系，其思想还可以推广到三维甚至更高维空间。在三维空间中，两点A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)间的距离公式为d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]。掌握这一方法，对于后续学习函数图像分析、几何证明以及物理中的位移计算等都具有重要意义。它体现了数形结合的数学思想，是连接代数与几何的一座关键桥梁。