能够密铺的条件是顶角之和为360º 边数大于4的正n边形,顶角=（n-2）*180º/n＞90º 如果用两个正方形,那么剩下180º角,约数是180º和90º,都不满足边数大于4的正n边形顶角大于90º和小于180º …
用正方形和正n边形铺满平面的数学探索
在平面镶嵌问题中，我们探讨用正方形与另一种边数大于4的正多边形（正n边形，n>4）组合，无缝隙、无重叠地铺满整个平面的可能性。这不仅是几何趣题，更涉及严格的数学规律。其核心在于，围绕平面内每一个顶点，所用多边形的内角之和必须恰好等于360度。设正方形每个内角为90度，正n边形每个内角为[(n-2)×180]/n度。若在一个顶点处，有a个正方形和b个正n边形相遇（a、b为正整数），则必须满足方程：a×90 + b×[(n-2)×180/n] = 360。
对此方程进行化简和分析是解题关键。将方程两边除以90，得到：a + b×[2(n-2)/n] = 4。进一步整理为 a + (2b)(n-2)/n = 4。由于a是正整数，且组合铺满要求顶点配置是周期性的，我们需要寻找满足条件的正整数解n（n>4）、a、b。通过枚举和数学推理可以发现，当n=8（正八边形）时，方程变为 a + b×(6/4) = a + 1.5b = 4。当b=2时，a=1。即一个顶点可由1个正方形和2个正八边形环绕（内角和：90+135+135=360），这是唯一可行的组合。著名的“半正镶嵌”图案中确实存在这种正方形与正八边形的组合铺砌。
结论与唯一性
综上所述，能与正方形组合铺满平面的、边数大于4的正n边形，其边数n的值唯一，为8。对于其他n>4的正多边形（如正五边形、正六边形、正七边形等），无法找到正整数a、b使上述方程成立，因此不能与正方形组合实现平面镶嵌。这一结果体现了数学的严谨与和谐，正方形与正八边形的组合镶嵌在建筑、装饰和艺术中也有着广泛而美妙的体现。
