求解矩阵方程AX=B
矩阵方程AX=B是线性代数中的核心问题，其中A是已知的系数矩阵，X是未知矩阵，B是已知的常数矩阵。求解该方程的关键在于理解X的每一列实际上是线性方程组A乘以该列等于B的对应列的解。题目中给出的矩阵A为三阶方阵：A = [1, 2, -1; 3, 4, -2; 5, -4, 1]。然而，题目中矩阵B的内容并未完整给出，这是求解的前提。通常，B是一个与A行数相同的矩阵。在完整的题目中，B应为一个3行n列的矩阵。为了阐述方法，我们假设B是一个已知的3×m矩阵。
求解方法与步骤
求解AX=B，首选且高效的方法是高斯消元法或利用逆矩阵。首先，需要检查系数矩阵A是否可逆（即行列式不为零）。计算矩阵A的行列式：det(A) = 1*(4*1 - (-2)*(-4)) - 2*(3*1 - (-2)*5) + (-1)*(3*(-4) - 4*5) = 1*(4-8) - 2*(3+10) -1*(-12-20) = (-4) - 2*(13) + 32 = -4 -26 +32 = 2。由于行列式不为零，矩阵A可逆。因此，方程存在唯一解，且解可表示为X = A⁻¹B。求解过程分为两步：先求A的逆矩阵A⁻¹，再计算A⁻¹与B的乘积。
求逆矩阵有多种方法，如伴随矩阵法或初等行变换法。通过计算可得A的逆矩阵（此过程略）。得到A⁻¹后，进行矩阵乘法运算X = A⁻¹B，即可得到未知矩阵X的每一个元素。最终解X是一个3行m列的矩阵，其每一列都是原方程组对应于B中每一列的特解。如果B未给出，则无法进行最后一步的数值计算。因此，在实际解题中，必须明确B的具体内容，才能完成整个求解过程并得到最终的数值解。