积分∫x√（1+4x^2)dx的求解过程
求解不定积分∫x√（1+4x^2)dx，关键在于识别被积函数的结构并选择合适的积分方法。观察被积函数x√（1+4x^2)，其核心部分为根号下的二次式1+4x^2，而外部恰好有一个x的因子。这种“复合函数与其导数（或导数线性部分）乘积”的形式，强烈提示我们使用第一类换元积分法（即凑微分法）。具体而言，我们注意到根号内表达式1+4x^2的导数为8x，这与外部的x因子仅相差一个常数倍数。因此，我们可以通过调整常数，将积分转化为对幂函数或基本积分公式的形式进行求解。
具体计算步骤与结果
首先，进行凑微分处理：令u = 1+4x^2，则微分du = 8x dx，即x dx = (1/8) du。将原积分中的x√（1+4x^2)dx改写为√(1+4x^2) * (x dx)，代入换元式，得到∫√u * (1/8) du = (1/8) ∫ u^(1/2) du。这是一个简单的幂函数积分，应用公式∫ u^n du = u^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ -1)，可得(1/8) * [ u^(3/2) / (3/2) ] + C = (1/8) * (2/3) u^(3/2) + C = (1/12) u^(3/2) + C。最后，将u = 1+4x^2代回，得到最终结果：(1/12) (1+4x^2)^(3/2) + C，其中C为积分常数。
综上所述，积分∫x√（1+4x^2)dx的值为(1/12) (1+4x^2)^(3/2) + C。此求解过程清晰地展示了如何通过观察被积函数特征，灵活运用换元积分法，将复杂积分转化为基本积分公式，从而高效、准确地得到结果。掌握这种识别模式并熟练进行凑微分的技巧，是解决一类根式积分问题的关键。
