线性方程解空间维数的概念
在探讨线性方程 \(X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 = 0\) 的解空间维数之前，我们首先需要理解几个核心概念。该方程是一个包含五个未知数的齐次线性方程。所谓“解空间”，是指所有满足该方程的向量 \((x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)\) 构成的集合。由于方程是齐次的（常数项为0），这个集合必然构成一个向量空间。解空间的“维数”则是指刻画这个空间所需的最少自由变量的个数，直观上可以理解为解空间的“自由度”。
解空间维数的计算与分析
对于给定的方程 \(X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 = 0\)，我们可以将其视为一个系数矩阵为 \([1, 1, 1, 1, 1]\) 的线性系统。该矩阵的秩（rank）为1，因为它包含一个非零行，代表了方程施加的一个独立的约束条件。根据线性代数基本定理，解空间的维数（即零空间的维数）等于未知数的个数减去系数矩阵的秩。在这个问题中，未知数个数为5，矩阵秩为1，因此解空间的维数就是 \(5 - 1 = 4\)。
这意味着，该方程的解空间是一个四维子空间。我们可以选择其中四个变量作为自由变量（例如 \(X_1, X_2, X_3, X_4\)），而第五个变量（\(X_5\)）则由它们决定（\(X_5 = -X_1 - X_2 - X_3 - X_4\)）。所有解都可以由这四个自由参数线性表示，其基础解系包含四个线性无关的解向量，例如 \((1,0,0,0,-1), (0,1,0,0,-1), (0,0,1,0,-1), (0,0,0,1,-1)\)。这组基张成了整个解空间，从而印证了其维数为4的结论。
