寻找余数的规律
题目要求我们计算一个由数字“1”后跟2000个“2”组成的巨大数字除以13的余数。直接计算这个天文数字显然不现实，因此我们必须寻找其除以13的余数规律。一个经典的方法是研究此类数字的循环节。我们可以从较小的类似数字开始试探：计算1、12、122、1222……除以13的余数，观察余数何时开始重复出现。通过计算可以发现：1除以13余1，12除以13余12，122除以13余5，1222除以13余9，12222除以13余11，122222除以13余6。当继续增加一个2，即1222222除以13时，余数变回1。这意味着，从“1”开始，每增加6个数字“2”，余数序列（1, 12, 5, 9, 11, 6）就完成一个循环，并回到余数1。这个6位的余数循环规律是解决问题的关键。
应用规律进行计算
现在，我们将这个规律应用到原数上。原数可以看作是以“1”开头，后面跟着整整2000个“2”。根据上述循环，每增加6个“2”，余数循环一次。因此，我们需要确定2000个“2”包含了多少个完整的6位循环。计算2000除以6：2000 ÷ 6 = 333 余 2。这意味着，在“1”之后，我们先经历了333个完整的（6个“2”为一组）循环。由于一个完整循环后余数回归到循环起点（即相当于只有“1”时的状态，余数为1），所以经过333个循环后，整个数字的余数状态与数字“1”后面只跟0个“2”（即数字1本身）时相同，余数仍为1。但这还没完，我们还有剩余的2个“2”。接下来，我们需要在余数1的基础上，继续模拟增加两个“2”的过程。
回顾循环序列：起始（对应数字“1”）余数为1。增加第一个“2”（即数字“12”）时，余数为12。再增加一个“2”（即数字“122”）时，余数为5。因此，在经历了333个完整循环后，再添加剩下的2个“2”，最终的余数对应于循环序列中的第三个余数，也就是5。所以，这个由1和2000个2组成的庞大数字，除以13所得的余数是5。
