一道求浓度的数学题一个容积为10升的容器内装满纯酒精,倒出x升后,用水注满；再到出x升混合液后,再用水注满,此时容器内的
一道求浓度的数学题解析
题目描述如下：一个容积为10升的容器内装满纯酒精，第一次倒出a升后用水加满，充分混合后再倒出a升溶液，再用水加满。此时容器内的酒精浓度恰好为原来的一半。我们需要求出每次倒出的液体体积a是多少？这是一道典型的溶液稀释与浓度变化问题，关键在于理解每次操作后剩余纯酒精量的变化规律。
建立数学模型与求解过程
初始时，容器内有10升纯酒精，浓度为100%。第一次倒出a升纯酒精并加水后，容器内剩余纯酒精量为(10-a)升，此时酒精浓度变为(10-a)/10。第二次操作时，我们倒出a升混合溶液，这a升溶液中包含的纯酒精量为 a * [(10-a)/10] 升。因此，第二次操作后剩余的纯酒精量为 (10-a) - a*(10-a)/10 = (10-a) * [1 - a/10] = (10-a)²/10 升。
根据题意，最终浓度是初始浓度（100%）的一半，即50%。由于最终体积仍为10升，这意味着最终纯酒精量为5升。因此我们得到方程：(10-a)²/10 = 5。解这个方程：(10-a)² = 50，10-a = √50 = 5√2（取正值），所以 a = 10 - 5√2 ≈ 10 - 7.07 = 2.93 升。因此，每次倒出的体积约为2.93升。这道题清晰地展示了连续稀释过程中，剩余溶质量与每次操作量之间的二次函数关系。
