什么是严格对角占优矩阵？
在数值线性代数中，严格对角占优矩阵是一类具有重要理论和应用价值的特殊矩阵。其定义直观而严谨：对于一个n阶方阵A，如果其主对角线上的每个元素的绝对值，都严格大于该元素所在行所有其他元素绝对值之和，则称矩阵A为严格对角占优矩阵。用数学公式表达，即对于所有的i（i=1,2,...,n），都满足 |a_ii| > Σ_{j≠i} |a_ij|。这个条件确保了矩阵的“对角线元素”在每一行中都占据绝对的主导地位。
严格对角占优矩阵的性质与意义
这类矩阵最著名的性质是它必然是非奇异的，即其行列式不为零，矩阵可逆。这一结论可以通过Gershgorin圆盘定理清晰地证明：矩阵的特征值都位于复平面上以对角元为圆心、以该行非对角元绝对值之和为半径的圆盘的并集中。由于严格对角占优，每个圆盘的圆心到原点的距离（|a_ii|）都大于其半径，从而所有圆盘都不包含原点，这意味着零不是矩阵的特征值，因此矩阵可逆。这一性质是许多数学定理证明和数值算法收敛性分析的基础。
在实际应用中，严格对角占优矩阵的特性保证了数值计算的稳定性和高效性。例如，在求解线性方程组Ax=b时，如果系数矩阵A是严格对角占优的，那么经典的迭代算法（如雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法）通常能够收敛到解。此外，这类矩阵也常出现在微分方程数值解（如有限差分法）和插值理论中，其良好的性质为科学计算提供了坚实的保障。理解严格对角占优矩阵，是掌握许多数值方法关键思想的重要一步。