求下列函数的导数详解
本文将分别对题目中给出的三个函数进行求导运算。每个函数的形式不同，需要灵活运用乘积法则、链式法则以及三角恒等式等求导知识。我们将分步推导，确保过程清晰易懂。
函数一：y=(2x^2+3)(3x-1)的导数
这是一个两个多项式相乘的函数，适合使用乘积法则。设u=2x^2+3，v=3x-1，则y=u·v。根据乘积法则，y' = u'v + uv'。首先计算u'=4x，v'=3。代入公式得：y' = (4x)(3x-1) + (2x^2+3)(3) = 12x^2 - 4x + 6x^2 + 9 = 18x^2 - 4x + 9。因此，第一个函数的导数为y' = 18x^2 - 4x + 9。
函数二与函数三的导数求解
第二个函数为y=(√x - 2)^2。可以先展开为y = x - 4√x + 4，再逐项求导。但使用链式法则更直接：设u=√x - 2，则y=u²。y' = 2u·u'，其中u' = 1/(2√x)。代入得：y' = 2(√x - 2)·(1/(2√x)) = (√x - 2)/√x = 1 - 2/√x。第三个函数为y = x - (sinx/2)(cosx/2)。注意到(sinx/2)(cosx/2) = (1/2)sinx（根据正弦二倍角公式sinx = 2 sin(x/2)cos(x/2)）。因此函数简化为y = x - (1/2)sinx。求导得：y' = 1 - (1/2)cosx。通过化简和运用基本求导公式，我们得到了后两个函数的导数分别为y' = 1 - 2/√x 和 y' = 1 - (1/2)cosx。