正切与反正切：定义与基本概念
在三角函数中，正切函数（tan）和反正切函数（arctan）是一对互逆的函数关系。正切函数定义为直角三角形中对边与邻边的比值，即 tan(θ) = 对边/邻边。在单位圆和坐标系中，它被扩展为任意角（通常以弧度表示）的函数，其值域为全体实数。而反正切函数，记作 arctan(x) 或 tan⁻¹(x)，则是正切函数的反函数。它的定义是：对于一个给定的实数x，arctan(x) 返回一个角度（通常落在主值区间 (-π/2, π/2) 内），使得该角度的正切值等于x。因此，两者的核心关系可以表述为：如果 y = arctan(x)，那么 x = tan(y)。
互为反函数的运算特性
作为反函数，tan 和 arctan 在运算上相互“抵消”。这意味着，对于定义域内的值，恒等式 tan(arctan(x)) = x 总是成立，因为先取反正切得到一个角度，再对这个角度求正切，自然得到原始输入值x。反之，对于角度在 (-π/2, π/2) 区间内，等式 arctan(tan(θ)) = θ 也成立。然而，必须特别注意定义域和值域的限制。由于正切函数不是在整个实数域上一一对应的（它是周期函数），所以 arctan 函数被约定为只返回主值。因此，对于任意角度θ，arctan(tan(θ)) 的结果不一定等于θ本身，而是一个落在 (-π/2, π/2) 区间内、且与θ有相同正切值的角。
在数学与应用中的意义
理解 tan 和 arctan 的关系在数学和工程领域至关重要。正切函数常用于描述直角三角形中的比例关系、波的相位以及斜率等。而反正切函数则扮演着“角度求解器”的角色。一个典型的应用是直角坐标到极坐标的转换：给定一个点的坐标 (x, y)，其与原点连线的倾斜角 θ 可以通过计算 θ = arctan(y/x) 来获得（需结合象限调整）。这种从比值回溯角度的能力，使得 arctan 在几何、物理、信号处理和计算机图形学中不可或缺。两者相辅相成，构成了角度与比值之间双向转换的桥梁。