函数可去间断点的定义
在微积分与数学分析中，函数的间断点是指函数在该点不连续的点。而“可去间断点”是其中一种重要的类型。其严格定义是：设函数f(x)在点x₀的某个去心邻域内有定义，如果极限lim(x→x₀) f(x)存在且为一个有限的常数A，但函数在x₀处要么无定义，要么f(x₀) ≠ A，那么点x₀就称为函数f(x)的可去间断点。
这个定义的核心在于，函数在该点的极限是存在的，只是函数值“没赶上”或者“跑错了位置”。例如，考虑函数f(x) = sin(x)/x，在x=0处无定义，但其极限为1。因此x=0就是它的一个可去间断点。另一个常见例子是分段函数g(x)，当x≠1时等于x，当x=1时定义为3。虽然lim(x→1) g(x)=1存在，但g(1)=3，两者不相等，所以x=1也是可去间断点。
理解与意义
“可去”一词形象地指出了这类间断点的本质：我们可以通过重新定义或补充定义该点的函数值，使其等于该点的极限值，从而“去掉”间断性，使函数在这一点变得连续。这在实际应用中非常有用，因为它意味着函数在该点附近的行为是良好且可预测的，间断仅仅是一个孤立的、可以修补的“瑕疵”。理解可去间断点，是深入掌握函数连续性、极限理论以及后续积分学的基础，它帮助我们区分函数间断的本质，并提供了修复不连续性的数学方法。