高斯积分：求解e的负x平方从0到正无穷的定积分
在数学分析中，求解函数 e^{-x^2} 从0到正无穷的定积分是一个经典且重要的问题，其结果与概率论、统计学和物理学中的正态分布密切相关。这个积分，通常被称为高斯积分或概率积分，其值为 √π / 2。由于其被积函数 e^{-x^2} 的原函数无法用初等函数表示，因此无法通过常规的牛顿-莱布尼茨公式直接求解，需要借助一些巧妙的技巧。
巧妙的求解方法：极坐标变换
最经典的求解方法是考虑该积分的平方。设 I = ∫_{0}^{∞} e^{-x^2} dx，则 I^2 = (∫_{0}^{∞} e^{-x^2} dx) * (∫_{0}^{∞} e^{-y^2} dy)。由于积分变量独立，可将其转化为二维平面上的二重积分：I^2 = ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞} e^{-(x^2+y^2)} dxdy。这个二重积分是在第一象限上进行的。利用极坐标变换，令 x = r cosθ, y = r sinθ，面积元 dxdy 变为 r drdθ。积分区域变为：r 从0到∞，θ 从0到π/2。于是，I^2 = ∫_{0}^{π/2} dθ ∫_{0}^{∞} e^{-r^2} r dr。对内层关于r的积分进行换元 u = r^2，容易求得结果为 1/2。外层关于θ的积分结果为 π/2。因此，I^2 = (π/2) * (1/2) = π/4。最终得到 I = √π / 2。
这个结果 √π / 2 具有深远的意义。它不仅是正态分布归一化常数的基础（全实数域积分值为√π），也在热传导、量子力学等领域的方程求解中频繁出现。该问题完美展示了如何通过创造性思维，将一维难以直接处理的积分转化为二维问题，并利用对称性和坐标变换予以解决，是数学优雅与实用性的典范。