复数的三次方计算公式推导
要计算一个复数 z = a + bi 的三次方，即求 z³ = (a + bi)³，我们可以直接使用代数中的二项式展开公式。将 (a + bi) 视为一个整体，应用三次方公式：(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³。这里，x 对应实数部分 a，y 对应虚数部分 bi。代入公式展开得到：z³ = a³ + 3a²(bi) + 3a(bi)² + (bi)³。接下来需要处理虚数单位 i 的幂次，我们知道 i² = -1，i³ = i² * i = -i。将这些关系代入：3a(bi)² = 3a * b² * i² = 3ab² * (-1) = -3ab²；(bi)³ = b³ * i³ = b³ * (-i) = -b³ i。最后，合并实部和虚部，得到最终公式：z³ = (a³ - 3ab²) + (3a²b - b³)i。
公式应用与实例演示
这个公式 z³ = (a³ - 3ab²) + (3a²b - b³)i 是计算任意复数三次方的通用表达式。其实部为 a³ - 3ab²，虚部为 3a²b - b³。我们可以通过一个具体例子来验证：设 z = 1 + 2i，即 a=1, b=2。代入公式，实部 = 1³ - 3*1*2² = 1 - 12 = -11；虚部 = 3*1²*2 - 2³ = 6 - 8 = -2。因此 z³ = -11 - 2i。直接展开 (1+2i)³ = 1 + 3*(2i) + 3*(2i)² + (2i)³ = 1 + 6i + 3*(4i²) + 8i³ = 1 + 6i -12 -8i = -11 -2i，结果完全一致，验证了公式的正确性。
几何意义与计算建议
除了代数计算，复数的三次方也有鲜明的几何意义。在复平面上，复数 z 可以表示为模长 r 和辐角 θ，即 z = r(cosθ + i sinθ)。根据棣莫弗定理，z³ = r³(cos3θ + i sin3θ)。这意味着三次方运算相当于将复数的模长立方，同时将其辐角变为原来的三倍。例如，若要计算 i 的三次方，i 的模为1，辐角为π/2，则 i³ 的模为1，辐角为3π/2，即 -i，与直接计算 i³ = i²*i = -i 相符。在实际计算中，若复数形式简单，直接展开或使用公式皆可；若涉及极坐标形式，使用棣莫弗定理往往更为简便。