变上限积分求导的基本原理
变上限积分求导是微积分学中的一个核心内容，它由微积分基本定理所揭示。具体来说，如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么由积分上限函数F(x) = ∫_{a}^{x} f(t) dt 所定义的函数，其导数就是被积函数在上限处的值，即 F'(x) = f(x)。这是一个将积分与微分这两个互逆运算深刻联系起来的结论。当我们面对的上限不是简单的x，而是一个关于x的可导函数，例如3x时，就需要运用链式法则进行复合求导。
对积分∫_{0}^{3x} f(t/3) dt 的求导分析
现在，我们来具体分析题目中的积分：∫_{0}^{3x} f(t/3) dt。这里，积分上限是u(x)=3x，积分变量是t，而被积函数是f(t/3)。为了求此积分关于x的导数，我们首先进行变量代换以简化被积函数形式。令 u = t/3，则 t = 3u，dt = 3 du。当 t 从0变化到3x时，u相应地从0变化到x。代入原积分，得到：∫_{0}^{3x} f(t/3) dt = ∫_{0}^{x} f(u) * 3 du = 3∫_{0}^{x} f(u) du。
经过变量代换，积分形式被大大简化。此时，新的积分上限就是x。根据变上限积分求导公式，直接对3∫_{0}^{x} f(u) du 关于x求导，结果为3 * f(x)。因此，最终我们得到：d/dx [ ∫_{0}^{3x} f(t/3) dt ] = 3f(x)。这个过程清晰地展示了如何处理复合上限以及被积函数内含有变量的情况，是链式法则与微积分基本定理的经典结合应用。