求解 sin(√x) 的不定积分
求解函数 sin(√x) 的不定积分，即 ∫ sin(√x) dx，是一个经典的微积分问题。其难点在于积分变量 x 位于根号内部，直接积分公式无法应用。解决此类问题的核心思路是通过变量代换（换元法）来简化被积函数的形式。最自然的代换是令 t = √x，这意味着 x = t²，从而微分 dx = 2t dt。将这一系列代换代入原积分，我们得到：∫ sin(√x) dx = ∫ sin(t) · 2t dt = 2∫ t sin(t) dt。至此，我们将一个含有复合函数的积分，转化为了一个关于 t 的幂函数与三角函数乘积的积分，这为我们应用分部积分法铺平了道路。
应用分部积分法完成计算
现在，我们需要计算 2∫ t sin(t) dt。这是一个标准的分部积分形式。我们令 u = t, dv = sin(t) dt，则 du = dt, v = -cos(t)。根据分部积分公式 ∫ u dv = uv - ∫ v du，可得：2∫ t sin(t) dt = 2[ -t cos(t) - ∫ -cos(t) dt ] = 2[ -t cos(t) + ∫ cos(t) dt ] = 2[ -t cos(t) + sin(t) ] + C。这里 C 是积分常数。最后一步，我们必须将结果用原变量 x 表示。由于 t = √x，将其代回上式，最终得到：∫ sin(√x) dx = 2[ -√x cos(√x) + sin(√x) ] + C = 2 sin(√x) - 2√x cos(√x) + C。
综上所述，求解 sin(√x) 积分的过程清晰地展示了换元法与分部积分法的协同运用。首先通过代换消除根号，将问题转化为更易处理的形式，再利用分部积分法求出结果，最后回代变量。这个结果是精确的，并且可以通过求导进行验证，其导数恰好等于原被积函数 sin(√x)。