arctan与tan：互为反函数的核心关系
在三角函数的世界里，正切函数（tan）和反正切函数（arctan）之间存在着一种核心的“互逆”关系。简单来说，如果正切函数的作用是“给定一个角度，求出它的对边与邻边的比值”，那么反正切函数的作用则恰恰相反，它是“给定一个对边与邻边的比值，求出对应的角度”。例如，我们知道 tan(45°) = 1，那么反过来，arctan(1) = 45°（在弧度制下为 π/4）。这种关系可以精确定义为：对于在特定区间内的角度 x 和实数 y，如果 y = tan(x)，那么 x = arctan(y)。
定义域与值域的限制
然而，这种互逆关系并非在所有数值上都能直接成立，这是因为正切函数并非一一对应。正切函数的周期是 π，这意味着无数个不同的角度（相差π的整数倍）都对应同一个正切值。为了定义出唯一的反函数，数学家们必须限制正切函数的定义域。通常，我们约定将定义域限制在 (-π/2, π/2) 这个开区间内。因此，反正切函数 arctan(x) 的值域也被相应地限制在 (-π/2, π/2) 之间。这个限制至关重要，它保证了每一个输入值 x 都对应唯一的角度输出，使得 arctan 成为一个定义良好的函数。
综上所述，arctan 和 tan 是互为反函数的紧密关系。它们像是一对功能相反的“数学机器”：tan 负责从角度到比值的计算，而 arctan 则负责从比值回溯到角度。理解它们关系的关键，在于牢记 arctan 的值域被限制在 -90° 到 90° 之间（即 -π/2 到 π/2 弧度），这是为了确保运算结果的唯一性和确定性。这一关系在解决几何问题、物理中的矢量分析以及工程计算等领域都有着极其广泛的应用。