指数分布的期望计算
题目中给出的随机变量X服从参数λ=2的指数分布。指数分布的概率密度函数为：当x≥0时，f(x)=λe^(-λx)；当x<0时，f(x)=0。因此，对于本题，X的概率密度函数为f(x)=2e^(-2x), x≥0。我们需要求解的是数学期望E(2X^2 - 1)。根据数学期望的线性性质，我们可以将其分解为：E(2X^2 - 1) = 2E(X^2) - E(1)。由于E(1)=1，所以问题的核心转化为计算指数分布的二阶原点矩E(X^2)。
计算指数分布的二阶矩
对于参数为λ的指数分布，其k阶原点矩E(X^k)有一个通用公式：E(X^k) = k! / λ^k。这个公式可以通过对积分∫_0^∞ x^k * λe^(-λx) dx进行分部积分推导得出。在本题中，λ=2，我们需要计算二阶矩（k=2）。根据公式，E(X^2) = 2! / λ^2 = 2! / 2^2 = 2 / 4 = 1/2。因此，我们得到了关键结果：E(X^2) = 0.5。
最终结果的求解
将E(X^2)=1/2代入之前分解的期望表达式中：E(2X^2 - 1) = 2 * E(X^2) - 1 = 2 * (1/2) - 1 = 1 - 1 = 0。所以，最终答案为0。这个计算过程清晰地展示了如何利用指数分布的矩公式和期望的线性性质来求解随机变量函数的数学期望。掌握指数分布的矩公式，对于高效解决此类问题至关重要。