极坐标方程转换为直角坐标方程的原理
将极坐标方程 r = 1 + cosθ 化为直角坐标方程，核心在于运用极坐标与直角坐标之间的转换关系。这两个坐标系通过一组基本公式联系起来：x = r·cosθ, y = r·sinθ。同时，还有一个重要的衍生关系：r² = x² + y²。我们的目标就是利用这些关系，消去方程中的极坐标变量 r 和 θ，最终得到一个只包含直角坐标 x 和 y 的方程。这个过程是解析几何中的一项基本技能，有助于我们更直观地在直角坐标系中分析曲线的形状（本例中的曲线为心形线）。
具体的推导步骤
首先，从原方程 r = 1 + cosθ 出发。为了便于代入关系式，我们将方程两边同时乘以 r，得到 r² = r + r·cosθ。这一步是关键，因为它同时产生了 r² 和 r·cosθ 这两项，而它们都可以用直角坐标直接表示。根据转换公式，我们知道 r² = x² + y²，且 r·cosθ = x。将它们代入等式，方程就变为：x² + y² = r + x。
此时，方程中仍然含有一个极坐标变量 r。我们可以利用关系式 r = √(x² + y²) 来替换它。于是方程进一步化为：x² + y² = √(x² + y²) + x。为了简化，将含有根号的项单独留在一边：x² + y² - x = √(x² + y²)。接着，两边平方以消除根号，得到：(x² + y² - x)² = x² + y²。这个等式就是最终的直角坐标方程形式。需要注意的是，两边平方可能会引入原方程中不存在的点（例如当右边为负时），但在大多数情况下，它准确地描述了心形线的主体部分。
结论与方程形式
综上所述，极坐标方程 r = 1 + cosθ 转化后的直角坐标方程为 (x² + y² - x)² = x² + y²。这个方程虽然比极坐标形式看起来复杂，但它明确地将曲线上所有点的 x 与 y 关系表达了出来。通过这个例子，我们可以清晰地看到极坐标与直角坐标转换的标准流程：利用基本关系进行代换，并巧妙地通过代数运算（如两边同乘 r、两边平方等）消除极坐标参数，最终达成转换目的。